Algebra

Algebra is een tak van de wiskunde die cijfers, letters en tekens gebruikt om te verwijzen naar de verschillende rekenkundige bewerkingen die worden uitgevoerd. Algebra wordt momenteel gebruikt als een wiskundige bron in relaties, structuren en kwantiteit. Elementaire algebra is de meest voorkomende omdat het de rekenkundige bewerkingen gebruikt zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, omdat het, in tegenstelling tot rekenen, symbolen zoals x gebruikt en de meest voorkomende is in plaats van getallen te gebruiken.

Algebra

Wat is algebra

Het is de tak die tot de wiskunde behoort, die het mogelijk maakt om rekenkundige problemen te ontwikkelen en op te lossen door middel van letters, symbolen en cijfers, die op hun beurt objecten, onderwerpen of groepen elementen symboliseren. Hiermee kunt u bewerkingen formuleren die onbekende getallen bevatten, onbekende genoemd, en die de ontwikkeling van vergelijkingen mogelijk maken.

Door middel van algebra is de mens in staat geweest om op een abstracte en generieke manier, maar ook geavanceerder te zijn, door middel van complexere berekeningen, ontwikkeld door wiskundige en fysische intellectuelen zoals Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) of Carl Friedrich Gauss (1777-1855), dankzij wiens bijdragen de definitie van algebra bekend staat zoals die tegenwoordig bekend is.

Volgens de geschiedenis van de algebra was Diophanthus van Alexandrië (geboortedatum en dood onbekend, men gelooft dat hij tussen de 3e en 4e eeuw leefde), eigenlijk de vader van deze tak, aangezien hij een werk publiceerde genaamd Arithmetica, dat het bestond uit dertien boeken en waarin hij problemen opriep met vergelijkingen die, hoewel ze niet overeenkwamen met een theoretisch karakter, geschikt waren voor algemene oplossingen. Dit hielp bij het definiëren van wat algebra is, en onder veel van de bijdragen die hij leverde, was de implementatie van universele symbolen om een ​​onbekende weer te geven binnen de variabelen van het op te lossen probleem.

De oorsprong van het woord "algebra" komt uit het Arabisch en betekent "herstel" of "herkenning". Evenzo heeft het zijn betekenis in het Latijn, wat overeenkomt met "reductie", en hoewel het geen identieke termen zijn, betekenen ze hetzelfde.

Als extra hulpmiddel om deze tak te bestuderen, kunt u rekenen op de algebraïsche rekenmachine, rekenmachines die algebraïsche functies kunnen tekenen. Dit maakt het mogelijk om expressies en grafiekfuncties te integreren, af te leiden, te vereenvoudigen, matrices te maken, vergelijkingen op te lossen en andere functies, hoewel deze tool meer geschikt is voor een hoger niveau.

Binnen algebra is de algebraïsche term, die het product is van een numerieke factor van ten minste één lettervariabele; waarin elke term zijn numerieke coëfficiënt, de variabelen die worden weergegeven door letters en de mate van de term kan differentiëren door de exponenten van de letterlijke elementen toe te voegen. Dit betekent dat voor de algebraïsche term p5qr2 de coëfficiënt 1 is, het letterlijke deel p5qr2 en de graad 5 + 1 + 2 = 8.

Wat is een algebraïsche uitdrukking

Het is een uitdrukking die bestaat uit gehele constanten, variabelen en algebraïsche bewerkingen. Een algebraïsche uitdrukking bestaat uit tekens of symbolen en bestaat uit andere specifieke elementen.

Zowel in elementaire algebra als in rekenkunde zijn de algebraïsche bewerkingen die worden gebruikt om problemen op te lossen: optellen of optellen, aftrekken of aftrekken, vermenigvuldigen, delen, empowerment (vermenigvuldigen van verschillende factoren tijden) en indienen (omgekeerde werking van potentiëring).

De tekens die bij deze bewerkingen worden gebruikt, zijn hetzelfde als in de rekenkunde voor optellen (+) en aftrekken (-), maar voor vermenigvuldiging wordt de equis (x) vervangen door een punt (.) Of ze kunnen worden weergegeven door tekens te groeperen ( voorbeeld: cd en (c) (d) zijn gelijk aan het element "c" vermenigvuldigd met het element "d" of cxd) en in de algebraïsche indeling worden twee punten (:) gebruikt .

Groepstekens worden ook gebruikt, zoals haakjes (), vierkante haken [], accolades {} en horizontale streepjes. Er worden ook relatietekens gebruikt, die worden gebruikt om aan te geven dat er een correlatie is tussen twee gegevens en de meest gebruikte zijn die gelijk aan (=), groter dan (>) en kleiner dan (<) .

Ze worden ook gekenmerkt door het gebruik van reële getallen (rationeel, waaronder positief, negatief en nul; en irrationeel, dat zijn die niet kunnen worden weergegeven als breuken) of complex, die deel uitmaken van de werkelijkheid en een algebraïsch gesloten lichaam vormen. .

Dit zijn de belangrijkste algebraïsche uitdrukkingen

Algebra

Er zijn uitdrukkingen die deel uitmaken van het concept van wat algebra is, deze uitdrukkingen zijn onderverdeeld in twee typen: monomials, die zijn die een enkele som hebben; en polynomen, die twee (binomialen), drie (trinominale) of meer toevoegingen hebben.

Enkele voorbeelden van monomials zijn: 3x, π

Sommige polynomen kunnen zijn: 4 × 2 + 2x (binomiaal); 7ab + 3a3 (trinominaal)

Het is belangrijk om te vermelden dat als de variabele (in dit geval "x") in de noemer of binnen een wortel staat, de uitdrukkingen noch monomials noch polynomen zouden zijn.

Wat is lineaire algebra

Dit gebied van wiskunde en algebra is degene die de concepten van vectoren, matrices, stelsels van lineaire vergelijkingen, vectorruimten, lineaire transformaties en matrices bestudeert. Zoals te zien is, heeft lineaire algebra verschillende toepassingen.

Het nut ervan varieert van de studie van de ruimte van de functies, die worden gedefinieerd door een verzameling X (horizontaal) tot een verzameling Y (verticaal) en worden toegepast op vector- of topologische ruimtes ; differentiaalvergelijkingen, die een functie (waarde die afhankelijk is van de tweede waarde) relateren aan de afgeleiden ervan (momentane veranderingssnelheid waardoor de waarde van een bepaalde functie varieert); operationeel onderzoek, dat geavanceerde analytische methoden gebruikt om goede beslissingen te nemen; zelfs engineering .

Een van de belangrijkste assen van de studie van lineaire algebra is te vinden in vectorruimten, die bestaan ​​uit een set vectoren (segmenten van een lijn) en een set scalairen (reële, constante of complexe getallen, die een grootte hebben maar niet de richting vector kenmerk).

De belangrijkste vectorruimten met een eindige dimensie zijn drie:

  • Vectoren in Rn, die Cartesische coördinaten vertegenwoordigen (horizontale as X en verticale as Y).
  • Matrices, die rechthoekige expressiesystemen zijn (weergegeven door cijfers of symbolen), worden gekenmerkt door een aantal rijen (meestal weergegeven door de letter "m") en een aantal kolommen (weergegeven door de letter "n"), en Ze worden gebruikt in wetenschap en techniek.
  • De vectorruimte van polynomen in dezelfde variabele, gegeven door polynomen die graad 2 niet overschrijden, hebben reële coëfficiënten en worden gevonden op de variabele "x".

Algebraïsche functies

Algebra

Het verwijst naar een functie die overeenkomt met een algebraïsche uitdrukking, maar ook voldoet aan een polynoomvergelijking (de coëfficiënten kunnen monomials of polynomen zijn). Ze zijn geclassificeerd als: rationeel, irrationeel en van absolute waarde.

  • De integer rationele functies zijn die uitgedrukt in :, waarbij "P" en "Q" twee polynomen vertegenwoordigen en "x" de variabele, waarbij "Q" verschilt van de nul-polynoom en de variabele "x" de noemer niet tenietdoet .
  • De irrationele functies, waarbij de uitdrukking f (x) een radicaal vertegenwoordigt, op deze manier :. Als de waarde van "n" even is, wordt de radicaal zo gedefinieerd dat g (x) groter is dan en gelijk aan 0, en het teken van het resultaat moet ook worden aangegeven, want zonder dit zou het niet mogelijk zijn om van een functie te spreken, aangezien Voor elke waarde van "x" zijn er twee resultaten; terwijl als de index van de radicaal oneven is, deze laatste niet nodig is, omdat het resultaat uniek zou zijn.
  • Absolute-waardefuncties, waarbij de absolute waarde van een reëel getal de numerieke waarde is en het teken opzij laat. 5 is bijvoorbeeld de absolute waarde van zowel 5 als -5.

Er zijn expliciete algebraïsche functies, waarbij uw variabele "y" het resultaat is van het combineren van de variabele "x" een beperkt aantal keren, met behulp van algebraïsche bewerkingen (bijvoorbeeld algebraïsche optelling), waaronder verhoging potenties en wortel extractie; dit zou vertalen naar y = f (x). Een voorbeeld van dit type algebraïsche functie zou het volgende kunnen zijn: y = 3x + 2 of wat zou hetzelfde zijn: (x) = 3x + 2, aangezien "y" alleen wordt uitgedrukt in termen van "x" .

Aan de andere kant zijn er de impliciete, die waarbij de variabele "y" niet alleen wordt uitgedrukt als een functie van de variabele "x", dus y ≠ f (x) . Als voorbeeld van dit type functie hebben we: y = 5x3y-2

Voorbeelden van algebraïsche functies

Er zijn minstens 30 soorten algebraïsche functies, maar onder de meest opvallende hebben we de volgende voorbeelden:

1. Expliciete functie: ƒ () = sin

2. Impliciete functie: yx = 9 × 3 + x-5

3. Polynoomfunctie:

a) Constant: ƒ () = 6

b) Eerste graad of lineair: ƒ () = 3 + 4

c) Tweede graad of kwadratisch: ƒ () = 2 + 2 + 1 of (+1) 2

d) Derde graad of kubisch: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9

4. Rationele functie: ƒ

5. Potentiële functie: ƒ () = - 1

6. Radicale functie: ƒ () =

7. Sectiefunctie: ƒ () = als 0 ≤ ≤ 5

Wat is Baldor's algebra

Algebra

Als we het hebben over wat Baldor's algebra is, verwijst het naar een werk ontwikkeld door de wiskundige, professor, schrijver en advocaat Aurelio Baldor (1906-1978), dat in 1941 werd gepubliceerd. In de publicatie van de professor, die Geboren in Havana, Cuba, worden 5790 oefeningen gerapporteerd, wat overeenkomt met gemiddeld 19 oefeningen per test.

Baldor publiceerde andere werken, zoals "Plane and Space Geometry", "Baldor Trigonometry" en "Baldor Arithmetic", maar degene die de meeste impact op het gebied van deze tak heeft gehad, is "Baldor's Algebra".

Dit materiaal wordt echter meer aanbevolen voor het middelbaar onderwijs (zoals de middelbare school), omdat het voor hogere niveaus (universiteit) nauwelijks een aanvulling zou zijn op andere meer geavanceerde teksten en volgens dat niveau.

De beroemde cover waarin de moslim-Perzische wiskundige, astronoom en geograaf Al-Juarismi (780-846) verschijnt, heeft voor verwarring gezorgd bij de studenten die dit beroemde wiskundige hulpmiddel hebben gebruikt, omdat men denkt dat dit personage gaat over de auteur Baldor.

De inhoud van het werk is onderverdeeld in 39 hoofdstukken en een appendix, die berekeningstabellen, een tabel met basisfactorontledingsvormen en root- en power-tabellen bevat; en aan het einde van de tekst staan ​​de antwoorden op de oefeningen.

Aan het begin van elk hoofdstuk is er een illustratie die een historisch overzicht weerspiegelt van het concept dat hieronder zal worden ontwikkeld en uitgelegd, en waarin prominente historische figuren in het veld worden genoemd, volgens de historische context waarin de conceptverwijzing zich bevindt. Deze karakters variëren van Pythagoras, Archimedes, Plato, Diophantus, Hypatia en Euclid, tot René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck en Albert Einstein.

Wat veroorzaakte de bekendheid van dit boek?

Het succes is gelegen in het feit dat het, naast een beroemd verplicht literair werk op Latijns-Amerikaanse middelbare scholen, het meest geraadpleegde en complete boek over dit onderwerp is, met een duidelijke uitleg van de concepten en hun algebraïsche vergelijkingen, evenals historische gegevens over de aspecten studeren, waarin de algebraïsche taal wordt behandeld.

Dit boek is bij uitstek de initiatie voor studenten binnen de algebraïsche wereld, hoewel het voor sommigen een bron van inspirerende studies is en voor anderen wordt gevreesd, de waarheid is dat het een verplichte bibliografie is en ideaal voor een beter begrip van de behandelde onderwerpen. .

Wat is Booleaanse algebra

De Engelse wiskundige George Boole (1815-1864) creëerde een reeks wetten en regels voor het uitvoeren van algebraïsche bewerkingen, tot het punt dat een deel ervan zijn naam kreeg. Om deze reden wordt de Engelse wiskundige en logicus beschouwd als een van de voorlopers van de informatica .

In logische en filosofische problemen lieten de wetten die Boole ontwikkelde ze toe om ze te vereenvoudigen in twee toestanden, namelijk de ware toestand of de valse toestand, en deze conclusies werden op een wiskundige manier bereikt. Sommige geïmplementeerde controlesystemen, zoals schakelaars en relais, gebruiken open en gesloten componenten, waarbij de open leidend is en de gesloten niet. Dit staat bekend als alles-of-niets in wat Booleaanse algebra is.

Dergelijke toestanden hebben een numerieke weergave van 1 en 0, waarbij 1 staat voor de waar en 0 staat voor de onwaar, wat hun studie gemakkelijker maakt. Volgens dit alles kan elk onderdeel van alle soorten of niets worden vertegenwoordigd door een logische variabele, wat betekent dat het de waarde 1 of 0 kan hebben, deze representaties staan ​​bekend als binaire code.

Booleaanse algebra maakt het mogelijk om logische of logische schakelingen binnen digitale elektronica te vereenvoudigen ; Ook hierdoor kunt u berekeningen en logische bewerkingen van de circuits op een meer uitdrukkelijke manier uitvoeren.

In Booleaanse algebra zijn er drie fundamentele procedures, namelijk: het logische product, de EN-poort of kruisingfunctie; de logische som, OF-poort of vakbondsfunctie; en logische negatie, GEEN poort- of complementfunctie. Er zijn ook verschillende hulpfuncties: negatie van het logische product, NIET-EN-poort; ontkenning van logische som, NOR-poort; exclusieve logische som, XOR-poort; en ontkenning van de exclusieve logische som, XNOR-poort.

Binnen de Booleaanse algebra zijn er een aantal wetten, waaronder:

  • Annuleringswet . Ook wel annuleringswet genoemd, er staat dat in een oefening na een proces de onafhankelijke term wordt geannuleerd, zodat (AB) + A = A en (A + B) .A = A.
  • Identiteitswet . Of de identiteit van de elementen 0 en 1, stelt vast dat een variabele waaraan het nulelement of 0 wordt toegevoegd, gelijk is aan dezelfde variabele A + 0 = A op dezelfde manier alsof de variabele wordt vermenigvuldigd met 1, het resultaat is hetzelfde A.1 = A.
  • Idempotent wet . Het stelt vast dat een bepaalde actie meerdere keren kan worden uitgevoerd en hetzelfde resultaat krijgt, zodat als je een conjunctie A + A = A hebt en als je een verplaatsing hebt AA = A.
  • Commutatief recht . Dit verwijst naar het feit dat de volgorde waarin de variabelen worden gevonden er niet toe doet, dus A + B = B + A.
  • Dubbele ontkenningswet . Of involutie, stelt dat als een negatie een andere negatie krijgt, er een positief resultaat zal zijn, zodat (A ')' = A.
  • Stelling van Morgan . Deze zeggen dat de som van een aantal variabelen die in het algemeen worden genegeerd, gelijk zal zijn aan het product van elke variabele die onafhankelijk wordt genegeerd, en vervolgens (A + B) '= A'.B' en (AB) '= A' + B ' .
  • Distributief recht . Het stelt vast dat wanneer sommige variabelen worden samengevoegd, die worden vermenigvuldigd met een andere externe variabele, dit hetzelfde zal zijn als het vermenigvuldigen van elke variabele die is gegroepeerd met de externe variabele, zoals: A (B + C) = AB + AC .
  • Opnamewetgeving . Er staat dat als een variabele A een variabele B impliceert, variabele A A en B omvat, en A wordt "geabsorbeerd" door B.
  • Associatief recht . In de disjunctie of bij het samenstellen van meerdere variabelen, zal het resultaat hetzelfde zijn, ongeacht hun groepering; zodat in de optelling A + (B + C) = (A + B) + C (het eerste element plus de associatie van de laatste twee, het gelijk is aan de associatie van de eerste twee plus de laatste).

Aanbevolen

Onschadelijk
2020
Uitbesteding
2020
Cryptografie
2020